Подлодки Корабли Карта присутствия ВМФ Рейтинг ВМФ России и США
Какой способ жилищного обеспечения военных вы считаете наиболее оптимальным?
Жилье в натуральном виде
    63,75% (51)
Жилищная субсидия
    18,75% (15)
Военная ипотека
    17,50% (14)

Поиск на сайте

Памяти Александра Михайловича Ляпунова (1857-1919)*

Академик В. А. Стеклов дал обзор тридцатипятилетней научной работы А. М. Ляпунова и охарактеризовал ее результаты, стяжавшие Александру Ми­хайловичу всемирную известность как глубокого мыслителя и творца в избран­ных им для исследования труднейших математических вопросах. Александр Михайлович, прежде чем всецело предаться чисто ученой работе, занимал ка­федру механики в Харьковском университете, и в его библиотеке сохранилось собрание литографированных курсов, им читанных. Вот об этих-то курсах, ха­рактеризующих профессорскую деятельность Александра Михайловича, и я поз­волю себе сказать несколько слов.

Первый цикл курсов относится к 1885-1887 гг., когда Александр Михайло­вич только что начал преподавание как приват-доцент. Этот цикл заключает следующие отделы: кинематика (155 стр.), динамика материальной точки (156 стр.), статика (124 стр.), динамика систем материальных точек (415 стр.), теория при­тяжения (75 стр.), основная теория деформируемых тел и гидростатика (128 стр.).

Необходимо заметить, что эти лекции написаны довольно крупным почер­ком и изданы в формате обыкновенной тетради в 1 /4 листа, так что страни­ца заключает всего 800 букв, т. е. три литографированные страницы соответст­вуют всего одной печатной странице обычного для математических книг форма­та в большое in 8°, так что весь курс составил бы книгу несколько менее 20 пе­чатных листов. Посмотрим, однако, какое богатое содержание Александр Ми­хайлович сумел вложить в столь малый объем.

Кинематика. Установив понятие о системе точек, связях и числе степеней свободы, Александр Михайлович прямо переходит к рассмотрению неизменяе-мой системы, предполагая известными из элементарного курса основные поня­тия о скорости и ускорении для точки.

Доказав, что число степеней свободы для неизменяемой системы, точки ко­торой не все лежат на одной прямой, есть шесть, Александр Михайлович, при­няв за независимые переменные координаты какой-либо точки системы и три эйлеровых угла, выводит формулы для 9 косинусов углов между подвижными и неподвижными осями, после чего переходит к исследованию движения неиз­меняемой системы. Исходною теоремою ему служит теорема о постоянстве проекции скорости точек, лежащих на прямой, на эту прямую, доказав и пояс­нив которую примерами, он подробно изучает вращательное движение твердо­го тела около неподвижной точки, причем строго как геометрически, так и чисто аналитически доказывает основные свойства подвижного и неподвижного аксо-идов, поясняя их несколькими примерами. Затем изучается общее движение неизменяемой системы и показывается, как найти центральную ось во всякий момент, причем как пример приводится движение Земли; как частный случай изучаются движение, параллельное плоскости, центроиды и рулеты вообще, после чего, вернувшись к общему случаю, показываются существование и способы оп­ределения аксоидов центральных осей, причем попутно поясняются главнейшие свойства развертывающихся и неразвертывающихся линейчатых поверхностей.

Далее следует изучение ускорения точек неизменяемой системы в абсолют­ном движении, указывается аналогия выражений проекций ускорения на коор­динатные оси с выражениями проекций скоростей и дается понятие о центре ускорений.

Последний отдел кинематики заключает учение об относительном движе­нии, причем сперва рассматривается движение точки по отношению к движущей­ся системе и выводятся выражения проекций скоростей и ускорений, а за­тем исследуется движение одной неизменяемой системы по отношению к дру­гой; аналитически выводится правило сложения угловых скоростей, и в зак­лючение получается теорема Шаля о разложении винтового движения на два вращательных.

Непосредственным продолжением «Кинематики» служит «Динамика материаль­ной точки». Содержание этого курса следующее. По установлении основных понятий и формулировке законов инерции и независимости действия сил рас­сматривается движение свободной материальной точки, сперва прямолинейное, причем приводятся обычные случаи интегрируемости в квадратурах уравнений такого движения, затем криволинейное, причем сперва разбираются случаи, ког­да траектория есть кривая плоская, и как пример рассматриваются общие свой­ства движения тяжелой точки в среде, сопротивление которой выражается за­данной функцией скорости. Движение под действием центральной силы изу-чается более подробно как для Ньютонова закона притяжения, так и для при­тяжения, пропорционального первой степени расстояния. Далее рассматривается движение точки под действием силы, имеющей силовую функцию, причем дока­зываются свойства так называемой главной функции и связь между полным решением дифференциального уравнения в частных производных, которому она удовлетворяет, с интегралами уравнений движения точки, и для примера по этой методе составляются интегралы уравнений движений точки, притягиваемой к не­подвижному центру по какому-либо закону, в зависимости от расстояния. Учение о движении свободной точки заканчивается рассмотрением относительного дви­жения такой точки, причем подробно разобран случай движения тяжелой точ­ки по отношению к земле.

Динамика несвободной материальной точки начинается с установления усло­вий, которым должны удовлетворять скорость и ускорение точки при движе­нии ее по данной поверхности, как удерживающей, так и неудерживающей; со­ставляются выражения реакции поверхности и силы трения и уравнения дви­жения точки для того и другого случая, для поверхности, как постоянной, так и изменяющейся с течением времени. Совершенно так же рассматривается во­прос о движении точки по данной постоянной или переменной кривой с трени­ем и без трения. После вывода условия, при котором существует для несво­бодного движения точки интеграл живой силы, рассматривается движение тя­желой точки по заданной линии и как пример — математический маятник без сопротивления и при сопротивлении, пропорциональном квадрату скорос­ти, не ограничиваясь при этом случаем малых колебаний. Затем дается ре­шение задач о таутохроне и брахистотроне, для первой весьма простое, при­надлежащее Puiseux, для второй — по общим правилам вариационного исчис­ления. Как пример движения точки по движущейся линии рассматривается за­дача о движении точки по вращающейся прямой. В примерах движения точки по поверхности сперва рассматривается случай движения без действия внешних сил и дается понятие о геодезической линии для данной поверхности, затем исследуется движение сферического маятника, маятника Фуко и движение точ­ки по вращающейся плоскости. Курс заканчивается рассмотрением вопроса об ударе точки о поверхность.

Лекции о механике систем точек начинаются с изложения статики. Здесь также предполагается, что учащимися уже пройден элементарный курс, поэтому статика начинается с установления общих условий равновесия твердого тела, после чего рассматриваются веревочные и стержневые многоугольники, подробно раз­бирается задача о цепной линии и показывается ее аналогия с задачею о дви­жении материальной точки. В заключение излагается начало возможных пере­мещений, причем дается лагранжево доказательство, существенно, однако, дополнен-ное в том отношении, что показывается не только необходимость, но и дос­таточность выведенного общего условия равновесия всякой системы, причем связи рассматриваются как удерживающие, так и неудерживающие.

Динамика систем точек начинается с обстоятельного разбора тех условий, ко­торые излагаются удерживающими и неудерживающими связями на скорости и ус­корении точек системы; случай неудерживающих связей рассмотрен при этом гораздо подробнее, нежели это обычно делается. Составив уравнения движения всякой системы и объяснив начало Д'Аламбера, Александр Михайлович по­дробно останавливается на рассмотрении первой лагранжевой формы дифферен­циальных уравнений движения и доказывает в совершенно общем виде, что эти уравнения, по исключении из них проекций ускорений, пользуясь уравнениями связей, всегда разрешимы относительно лагранжевых множителей. По выясне­нии понятия об интегралах системы выводятся законы сохранения движения центра инерции, площадей и живой силы для свободной системы точек как в аб­солютном их движении, так и в относительном по отношению к центру инер­ции. Как пример сперва рассматривается задача двух тел, притягивающихся по закону Ньютона, затем составляются дифференциальные уравнения движения для случая (п + 1) точки и находятся их известные 10 интегралов. В заключение отдела о движении свободной системы рассматривается случай системы точек, притягивающихся или отталкивающихся пропорционально расстоянию.

Следующий отдел заключает подробное аналитическое установление необхо­димых и достаточных условий, при которых для несвободной системы имеют место законы движения центра инерции, площадей и живой силы, после чего дается строгое доказательство Дирихле критерия устойчивости или неустойчи­вости положения равновесия какой угодно системы и поясняется примером.

Далее излагается начало наименьшего действия и начала Гамильтона, на ос­новании которого выводятся уравнения движения во второй лагранжевой фор­ме и в каноническом виде доказываются свойства символа Пуассона и теорема Якоби.

Следующим отделом служит учение о движении неизменяемой системы. По получении общих выражений живой силы и моментов количества движения для такой системы исследуются свойства моментов инерции, эллипсоида инерции и гирационного эллипсоида, после чего на основании законов движения центра инерции и уравнений моментов составляются дифференциальные уравнения дви­жения твердого тела. Примерами такого движения служат физический маятник, вращение по инерции твердого тела, имеющего неподвижную точку, причем дается как геометрическое исследование Пуансо, так и аналитическое при помощи эллиптических функций, пользуясь лишь самыми их элементарными свойствами, тут же доказываемыми.

Последним отделом курса является учение «О действии мгновенных сил», раз­витое с гораздо большею подробностью и полнотою, нежели это обычно дела­ется. Вопрос вначале поставлен так: дана система точек, подчиненных данным удерживающим связям, требуется определить движение, сообщаемое системе дан­ными импульсами. Вопрос этот решается в первой лагранжевой форме, после чего показывается, как вся совокупность полученных уравнений может быть заменена одним вариационным уравнением. Затем выводятся теоремы Бертра­на и Томсона и, в отличие от многих курсов, не оставляются без применений, а, напротив, служат средством для решения ряда примеров общего характера, в которых требуется определить или движение, сообщаемое системе или твер­дому телу данными импульсами, или наоборот. Вопрос о движении твердого тела рассмотрен особенно подробно, причем выведены общие условия, при которых данное винтовое движение тела может быть сообщено одним импульсом; отсю­да как частный случай получается решение вопроса о сообщении данного враща­тельного движения и о центре удара. По рассмотрении вопроса об ударе двух упругих шаров решается в общем виде задача о так называемом ударе о связь и выводится общее выражение потери живой силы при этом. В заключение решается вопрос, обратный предыдущему, т. е. о внезапном уничтожении од­ной из связей системы и происходящем при этом увеличении живой силы.

Другие два курса Александра Михайловича — «Теория притяжения» и «Ос­нования теории деформируемых тел и гидростатики» тесно соприкасаются с его собственными изысканиями в этой области, поэтому при такой же сжатости изложения, как и вышеприведенные, они заключают еще большее число вполне оригинальных, принадлежащих Александру Михайловичу доказательств и выво­дов теорем, хотя и известных ранее, но доказательства которых Александр Михайлович не считал достаточно строгими, как, например, относительно усло­вий устойчивости равновесия плавающих тел или основных свойств потенци­альной функции и начала Дирихле; я не буду утомлять вашего внимания пе­речнем содержания этих курсов и особенностей их изложения, так как об этом уже упоминал академик В. А. Стеклов.

Из этого общего обзора читанных Александром Михайловичем курсов вид­но, что он излагал механику как отрасль математики, а не физики, оставляя в стороне указания на прикладную ее часть и на согласие ее выводов, полу­ченных из основных умозрительно установленных начал с наблюдениями и опы­тами, поэтому безукоризненная строгость доказательства ставилась им как глав­ное требование, и в этом отношении многое принадлежит ему лично и не на­ходится в других курсах или трактатах.

Остается теперь сказать, каким образом Александр Михайлович достигал такой изумительной краткости изложения при полной его ясности и строгости, стремле­ние к которой столь часто ведет к длиннотам и растянутости.

Понятно, что с внутренней стороны здесь проявлялась обширность его по­знаний, глубина, с которой им продумывались каждое предложение, каждый вывод и доказательство, и та тщательность отделки, к которой он привык во всякой своей работе.

Со стороны внешней уже по самой последовательности статей курса видно, что каждый из главнейших вопросов различных отделов механики ставился им с самого начала в самом общем виде; для поставленного так вопроса давалось прямое и вполне общее решение; таким образом, все отдельные случаи получа­лись как частные из найденного общего решения или служили примерами для пояснения его.

Второю особенностью изложения является отсутствие всякого рода простых промежуточных выкладок, они заменены указанием последовательности необхо­димых действий или преобразований и того результата, который получится. Может показаться, что при таком изложении чтение курса представит значи­тельные затруднения учащемуся, но это не совсем так благодаря тому, что выкладка не просто скрыта под словами: «после простых преобразований по­лучится» и т. д., которые так часто затрудняют учащегося, а, напротив, весь ход выкладки указан словами и опущено лишь то, что совершается по определен­ным правилам, учащемуся известным.

Лекции эти, по свидетельству В. А. Стеклова, написаны самим Александром Михайловичем, и можно выразить сожаление, что Александр Михайлович, все­цело поглощенный творческой работой, не уделил времени на печатное издание своего курса, которому он, конечно, придал бы высокое совершенство и кото­рый составил бы ценнейший вклад в учебную литературу и облегчил бы изучение механики многим поколениям учащихся.

* Речь об А. М. Ляпунове произнесена в Общем собрании Академии наук 16 мая 1919 г.; напечатана как некролог в «Известиях Академии наук» (сер. VI, 1919, т. XIII, ч. I, № 8-11, с. 389-394); характеристику А. М. Ляпунова см. еще в книге А. Н. Крылова: «Ис. Ньютон и его значе­ние в мировой науке» (1943, с. 35-39). А. М. Ляпунов род. 25 мая (6 июня) 1857 г. в Ярославле; отец его известный астроном, профессор в Казани; один брат его, Борис Михайлович, — известный филолог, академик; дру­гой, Сергей Михайлович, — известный музыкальный деятель.

Вперед
Оглавление
Назад


Главное за неделю