Видеодневник инноваций
Подлодки Корабли Карта присутствия ВМФ Рейтинг ВМФ России и США Военная ипотека условия
Баннер
Линейка электрических винторулевых колонок

Для малых судов
разработали
электрическую ВРК

Поиск на сайте

Главная / Издания / Литература / Книжная полка / Г.Г. Ермолаев, Л.П. Андронов, Е.С. Зотеев, Ю.П. Кирин, Л.Ф. Черниев. Морское судовождение

§ 50. Полярный треугольник и его решение

Полярным (или параллактическим) треугольником называют сферический треугольник на небесной сфере, полученный в результате пересечения трех дуг больших кругов: меридиана наблюдателя, круга склонения и вертикала светила (рис. 75). Элементами полярного треугольника являются угол ZP N a=t — часовой угол (в практическом счете); угол бZP N = A—азиму т (в полукруговом счете); угол ZoPn = P — параллактический угол: сторона PNZ — дополнение широты до 90°, т. е. (90°—φ); сторона PNo — полярное расстояние светила А = 90°—о, сторона Zo — зенитное расстояние z = 90°—h.

Параллактический треугольник связывает горизонтные координаты h и А, экваториальные координаты г и б и географические координаты φ и λ места наблюдателя. Географическая долгота Я, как будет показано дальше, входит в часовой угол t.

Этой связью объясняется большая практическая ценность полярного треугольника. Если известны три его элемента, то можно, решив его, найти остальные неизвестные элементы, в частности географическую широту или долготу.

Решение полярного сферического треугольника возможно, если известно не менее трех его элементов. Связь между сторонами и


Рис. 75.


Рис. 76.

углами в сферическом треугольнике выражается четырьмя основными формулами сферической тригонометрии.

1. Формула синусов (рис. 76). Во всяком сферическом треугольнике синусы сторон относятся как синусы противоположных им углов:

ctg А = ctg а • sin с • cosec В — cos с • ctg В +I + II;

cos b = cos а • cos с + sin а • sin с • cos B +I — II;



2. Формула косинуса стороны. Во всяком сферическом треугольнике косинус стороны равен произведению косинусов двух других сторон плюс произведение синусов тех же сторон, умноженное на косинус угла между ними (т. е. на косинус угла, противолежащего первой стороне).


3. Формула косинуса угла. Косинус угла равен минус произведению косинусов двух других углов плюс произведение синусов тех же углов на косинус стороны, лежащей между ними (т. е. противолежащей первому углу).


4. Формула котангенсов. Во всяком сферическом треугольнике произведение котангенса крайнего угла на синус среднего угла равно произведению котангенса крайней стороны на синус средней стороны минус произведение косинусов средних элементов.


Правые части формул (61) — (63) нелогарифмические и представляют собой сумму или разность двух членов. Поэтому при решении необходимо пользоваться вспомогательными таблицами для сумм и разностей логарифмов (таблицы Гаусса), помещенными в МТ-63.

Пример 33. Дано: а = 67°19',6, с=33°42',8 , В = 118°00',9. Найти А, b, С. Решение. 1. Пользуясь сферическим треугольником, выписываем формулы, связывающие три известных элемента с искомым (рис. 77).

ctg А • sin В = ctg а • sin с — cos с • cos В;

cos b = cos а • cos с + sin а • sin с • cos В;

ctg С • sin В = ctg с • sin а — cos a • cos В.

2. В полученных формулах слева оставляем только неизвестные элементы. Анализируем их на знаки:


3. Выписываем рабочую схему и решаем задачу



При решении полярного треугольника буквенные обозначения в формулах (60) — (63) заменяют его элементами.

При исследовании формул на знаки необходимо иметь в виду следующее:

широта ср всегда считается положительной;

склонение б, если наименование склонения одноименно с широтой, считается положительным; в противном случае — отрицательным;

высота h всегда определена знаком;

азимут А в полярном треугольнике всегда рассматривается полукруговой. Если азимут светила дан в круговом или четвертком счете, его необходимо перевести в полукруговой, а затем исследовать формулу на знаки. При исследовании тригонометрических функций на знаки имеет значение величина полукругового азимута;

часовой угол t рассматривается только практический (он всегда меньше 180°). Знак тригонометрических функций определяется величиной часового угла.

Пример 34. Дано cр = 56°17',2N; 5 = 2°40',4S и t = 18°00 ,9 Ost. Найти h и А.

Решение. 1. Пользуясь полярным треугольником, выписываем необходимые формулы (рис. 78);

cos (90°—h) = cos (90°—cр) • cos (90°—б) + sin (90°—сp) • sin (90°—б) • cos t;

sin h = sin сp • sin б + cos ср • cos б • cos t ;

ctg A • sin t = ctg (90°—б) • sin (90°— ср) — cos (90°—ср) • cos t;

ctg A • sin t = t g б • cos ср — sin ср • cos t.

2. Выписываем рабочие формулы и анализируем их на знаки:



Рис. 77.


Рис. 78.

3. Решаем задачу по рабочей схеме.


В связи с тем что в рассматриваемом примере оба члена правой части уравнения ctg А оказались отрицательными, в уравнении знаки изменены на противоположные. В левой части уравнения вместо lg (—ctg A) вычислено lg ctg (180°—А).

Вычисленный азимут А по формуле ctg А будет всегда выражен в полукруговом счете. Так как азимут в полукруговом счете отсчитывается от полуночной части меридиана наблюдателя (которая одноименна с повышенным полюсом), то наименование первой буквы вычисленного азимута всегда одноименно с географической широтой. Наименование второй буквы азимута всегда одноименно с практическим часовым углом.

Приближенное решение (или контроль этой задачи) может быть выполнено с помощью графического построения небесной сферы в заданной широте. На небесной сфере по заданным координатам наносят светило, а затем определяют искомые координаты (рис. 79). Для нашего примера h ~ 30° и A~ N 160° Ost.

Вперед
Оглавление
Назад

Главное за неделю